MATEMÁTICAS VI (2019): febrero 2020

TEMA DE EXAMEN PARA EL CUARTO PERIODO: INTEGRALES POR FRACCIONES PARCIALES

Denominadores con factores lineales

La idea para resolver este tipo de integrales consiste en que tenemos que expresar una fracción que no se integra de manera inmediata como suma de otras fracciones que sí se pueden integrar inmediatamente.

Ejemplo

Calcula la siguiente integral indefinida:

$\begin{equation*} \int\!\frac{3\,x - 1}{x^2 - x}\,dx \end{equation*}$

Empezamos notando que la integral no es inmediata, así que tenemos que transformarla. Para empezar, podemos factorizar el denominador:

$\begin{equation*} \int\!\frac{3\,x - 1}{x\,(x - 1)}\,dx \end{equation*}$

Ahora, dado que cuando sumamos dos fracciones en el denominador obtenemos el producto de los denominadores de las fracciones que se sumaron, tal vez sea posible expresar el radicando como la suma de dos fracciones. Es decir, debemos encontrar $A$ y $B$ tales que:

$\begin{equation*} \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} = \frac{3\,x - 1}{x\,(x - 1)} \end{equation*}$

Para eso, primero vamos a realizar la suma de fracciones:

$\begin{equation*} \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} = \frac{A\,(x-1) + B\,x}{x\,(x - 1)} = \frac{(A + B)\,x - A}{x\,(x - 1)} \end{equation*}$

En la fracción inicial, teníamos por numerador: $3\,x - 1$ . El coeficiente de $x$ del numerador es 3 y de acuerdo a la suma de las fracciones, debe cumplir: $A + B = 3$ . Por otra parte, el término independiente debe ser $-1$ , y por la suma de las fracciones tenemos: $-A = -1$ . Entonces, $A = 1$ y $B = 2$ . Esto significa que podemos reescribir la integral como:

$\begin{equation*} \int\!\frac{3\,x - 1}{x\,(x - 1)}\,dx = \int\!\frac{dx}{x} + \int\!\frac{2\,dx}{x - 1} \end{equation*}$

Estas integrales son inmediatas:

$\begin{equation*} \int\!\frac{3\,x - 1}{x\,(x - 1)}\,dx = \ln x + 2\,\ln(x-1) + C \end{equation*}$

Y terminamos.

Observa que suponemos que existen dos valores $A,B$ que satisfacen las condiciones para que:

$\begin{equation*} \frac{A}{mx + b} + \frac{B}{nx + c} = \frac{kx + l}{(mx + b)(nx + c)} \end{equation*}$

Eso significa que:

$\begin{equation*} \frac{A\,(nx + c) + B\,(mx + b)}{(mx + b)(nx+c)} = \frac{(\textcolor{red}{An + Bm})\,x + (\textcolor{blue}{Ac + Bd})}{(mx + b)(nx+c)} = \frac{\textcolor{red}{k}x + \textcolor{blue}{l}}{(mx + b)(nx + c)} \end{equation*}$

Pero para que $A,B$ satisfagan la igualdad en las fracciones, se requiere que los coeficientes de los términos del mismo grado sean iguales, es decir, el coeficiente del término lineal sea igual para ambas fracciones ( $An + Bm = k$ ), así como para el término independiente ( $Ac + Bd = l$ ). Así que tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

$\setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{ccccl} n\,A &+& m\,B &=& k\\ c\,A &+& d\,B &=& l \end{array}$

Este sistema de ecuaciones tendrá solución siempre que el determinante:

$\left\vert \begin{array}{cc} n & m \\ c & d \end{array} \right\vert \neq 0$

Esto significa que no siempre es posible expresar una fracción como la suma de otras dos, por lo que este método no siempre funcionará.

Ejemplo

Calcula la integral indefinida:

$\begin{equation*} \int\!\frac{5\,x + 17}{x^2 + 6\,x + 5}\,dx \end{equation*}$

Primero debemos observar que el denominador del integrando se puede factorizar:

$\begin{equation*} \frac{5\,x + 17}{x^2 + 6\,x + 5} = \frac{5\,x + 17}{(x + 1)(x + 5)} \end{equation*}$

Ahora buscamos dos números $A,B$ que cumplan:

$\begin{equation*} \frac{5\,x + 17}{(x + 1)(x + 5)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+5} \end{equation*}$

Empezamos haciendo la suma de fracciones:

$\begin{equation*} \frac{\textcolor{red}{5}\,x + \textcolor{blue}{17}}{(x + 1)(x + 5)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 5} = \frac{A\,(x + 5) + B\,(x + 1)}{(x + 1)(x + 5)} = \frac{(\textcolor{red}{A + B})\,x + (\textcolor{blue}{5\,A + B})}{(x + 1)(x + 5)} \end{equation*}$

Esto implica:

$\setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{ccccl} A &+& B &=& 5\\ 5\,A &+& B &=& 17 \end{array}$

La solución de este sistema de ecuaciones se obtiene multiplicando la primera ecuación por $-1$ y sumando. Así obtenemos la ecuación: $4\,A = 12$ , que implica $A = 3$ . De la primera ecuación: $A + B = 5$ y dado que $A = 3$ , se obtiene: $B = 2$ . Entonces, podemos expresar la integral como:

$\begin{eqnarray*} \int\!\frac{5\,x + 17}{x^2 + 6\,x + 5}\,dx &=& \int\!\left(\frac{3}{x + 1} + \frac{2}{x + 5}\right)\,dx\\ &=& \int\!\frac{3\,dx}{x + 1} + \int\!\frac{2\,dx}{x + 5} \end{eqnarray*}$