MATEMÁTICAS VI (2019)

lunes, 23 de marzo de 2020

TEMA : OPERACIONES CON MATRICES CLASE 1

¡BUEN DÍA! ALUMNOS DEL 6030

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"CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL"

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TEMA: OPERACIONES CON MATRICES

OBJETIVO:

Aplicar, y comprender para poder realizar los conceptos determinante y matriz para resolver problemas de las ciencias económico-administrativo-vas.

Determinar el conjunto solución y su significado en problemas de la vida cotidiana y de diversas áreas del conocimiento aplicando matrices y determinantes.

FECHA: Nezahualcóyotl, Edo. de México. 23 de marzo de 2020

FRASE DE LA SEMANA: “Un ser no está completo hasta que no se educa.”
Horace Mann

MATRICES Y OPERACIONES

En matemáticas, una matriz es un arreglo bidimensional de números. Dado que puede definirse tanto la suma como el producto de matrices, en mayor generalidad se dice que son elementos de un anillo. Una matriz se representa por medio de una letra mayúscula (A,B, …) y sus elementos con la misma letra en minúscula (a,b, …), con un doble subíndice donde el primero indica la fila y el segundo la columna a la que pertenece.

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{pmatrix}}$

Los elementos individuales de una matriz

m

n

, se denotan a menudo por

a_{ij}

, donde el máximo valor de

i

m

, y el máximo valor de

j

n

. Siempre que la matriz tenga el mismo número de filas y de columnas que otra matriz, estas se pueden sumar o restar elemento por elemento.

Las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar transformaciones lineales dada una base. En este último caso, las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales.

Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.

Resultado de imagen para matrices teoria

VER LOS SIGUIENTES VÍDEOS DE MATRICES Y ANOTAR EN SU CUADERNO LA EXPLICACIÓN Y EJEMPLOS

INDICACIONES:

COPIAR EN SU CUADERNO LA TEORÍA, LOS EJEMPLOS EN EL CUADERNO.

VER LOS VÍDEOS Y TAMBIÉN COPIAR LAS EXPLICACIONES Y EJEMPLOS QUE SE ESTÁN DANDO EN EL VÍDEO.

CORREO: tareasmatematicas_patria@hotmail.com

Deberán escanear su apunte y la tarea en PDF que se dejó y mandarla al correo de tareas

con Nombre completo del Alumno y grupo.

TAREA:

Realizar 5 ejemplos de Tipos de Matrices en su cuaderno. Escanear el apunte y la tarea y mandarla por correo.

jueves, 5 de marzo de 2020

TIPOS DE MATRICES

Tipos de matrices

Dimesión de una matriz

Conceptos de fila, columna y elementos de una matriz, ejemplos

Ejemplos

Matrices rectangulares, ejemplos

Una matriz es rectangular cuando el número de filas es distinto al número de columnas m≠n. Son matrices rectangulares la matriz fila y la matriz columna.

Matrices cuadradas, tipos

Ejemplos de matriz identidad, matriz diagonal, matriz escalar y matriz triangular.

TEMA DE EXAMEN: MATRICES Y DETERMINANTES

TEMA DE EXAMEN: MATRICES Y DETERMINANTES

MATRICES Y DETERMINANTES

Definición de matriz de números.

Una matriz orden (m ´ n) es un conjunto de m ´ n números ordenados en una tabla:

en donde podemos apreciar horizontalmente las filas, fila 1: (

), fila 2: (

), etc. Mientras que verticalmente se habla de columnas: columna 1, columna 2, etc.

Por tanto, una matriz de orden (m ´ n) tiene m filas y n columnas. En caso de que el número de filas y el de columnas sea el mismo se habla de matriz cuadrada.

Las matrices cuadrada tienen dos diagonales, de las cuales sobre un ejemplo vemos la que se llama "diagonal principal" de la matriz:

Para tratarlas teóricamente las matrices se suelen expresar en forma abreviada así:

es decir, con un nombre propio y dos subíndices, aij, siendo el primer subíndice -en nuestro caso el i- el correspondiente a la fila i-ésima, cuyo recorrido va desde 1 hasta m; y el segundo subíndice -en nuestro caso la j- es el correspondiente a la columna j-ésima, cuyo recorrido va desde 1 hasta n. El alumno debe ser muy consciente de este significado de los índices.

6.2 Operaciones con matrices.

* ADICIÓN:

Sean A y B son dos matrices del mismo orden , entonces la matriz suma S = A + B es:

es decir, se suman los correspondientes elementos (i,j) de A con los (i,j) de B. Ejemplo:

* PRODUCTO POR UN ESCALAR:

Sea A una matriz y k un escalar (un número real), entonces la matriz B = k A es:

es decir, se multiplica cada elemento de la matriz A por el número k. Ejemplo:

Considerando esto, podemos hablar de la RESTA de dos matrices A - B, como la suma de A con el producto de (-1)B, lo cual equivale a restar los correspondientes elementos (i,j) de A con los (i,j) de B.

* PRODUCTO DE MATRICES:

Sea A una matriz de orden (m ´ n), y B una matriz de orden (n ´ r), entonces la matriz producto, es una matriz P = A . B de orden (m ´ r):

(Observe el alumno cómo para obtener el elemento pij, se multiplican cada elemento de la fila i de A por cada elemento respectivo de la columna j de B). Tomemos como ejemplo las matrices A , tipo (3 ´ 2), y B, tipo (2 ´ 4):

Así obtenemos P = A . B, cuyo resultado es:

en la que se han ido obteniendo los elementos multiplicando fila de A por columna de B (por ejemplo):

Mejor veámoslo gráficamente:

Propiedades del producto de matrices:

El producto de dos matrices de orden (n ´ n), es una matriz tipo (n ´ n).
En general A . B ¹ B . A (el producto no es conmutativo)
El producto es asociativo A . (B . C) = (A . B) . C

sábado, 22 de febrero de 2020

VÍDEOS DEL TEMA INTEGRALES FRACCIONES PARCIALES

VÍDEOS DEL TEMA INTEGRALES FRACCIONES PARCIALES

VER LOS VÍDEOS Y ANOTAR LA EXPLICACIÓN DE LOS EJERCICIOS SERA TEMA IMPORTANTE PARA EL EXAMEN DEL CUARTO PERIODO.

SERÁ CONTADA COMO TAREA EN EL CUADERNO

TEMA: INTEGRALES POR FRACCIONES PARCIALES

TEMA DE EXAMEN PARA EL CUARTO PERIODO: INTEGRALES POR FRACCIONES PARCIALES

Denominadores con factores lineales

La idea para resolver este tipo de integrales consiste en que tenemos que expresar una fracción que no se integra de manera inmediata como suma de otras fracciones que sí se pueden integrar inmediatamente.

Ejemplo

Calcula la siguiente integral indefinida:

$\begin{equation*} \int\!\frac{3\,x - 1}{x^2 - x}\,dx \end{equation*}$

Empezamos notando que la integral no es inmediata, así que tenemos que transformarla. Para empezar, podemos factorizar el denominador:

$\begin{equation*} \int\!\frac{3\,x - 1}{x\,(x - 1)}\,dx \end{equation*}$

Ahora, dado que cuando sumamos dos fracciones en el denominador obtenemos el producto de los denominadores de las fracciones que se sumaron, tal vez sea posible expresar el radicando como la suma de dos fracciones. Es decir, debemos encontrar $A$ y $B$ tales que:

$\begin{equation*} \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} = \frac{3\,x - 1}{x\,(x - 1)} \end{equation*}$

Para eso, primero vamos a realizar la suma de fracciones:

$\begin{equation*} \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} = \frac{A\,(x-1) + B\,x}{x\,(x - 1)} = \frac{(A + B)\,x - A}{x\,(x - 1)} \end{equation*}$

En la fracción inicial, teníamos por numerador: $3\,x - 1$ . El coeficiente de $x$ del numerador es 3 y de acuerdo a la suma de las fracciones, debe cumplir: $A + B = 3$ . Por otra parte, el término independiente debe ser $-1$ , y por la suma de las fracciones tenemos: $-A = -1$ . Entonces, $A = 1$ y $B = 2$ . Esto significa que podemos reescribir la integral como:

$\begin{equation*} \int\!\frac{3\,x - 1}{x\,(x - 1)}\,dx = \int\!\frac{dx}{x} + \int\!\frac{2\,dx}{x - 1} \end{equation*}$

Estas integrales son inmediatas:

$\begin{equation*} \int\!\frac{3\,x - 1}{x\,(x - 1)}\,dx = \ln x + 2\,\ln(x-1) + C \end{equation*}$

Y terminamos.

Observa que suponemos que existen dos valores $A,B$ que satisfacen las condiciones para que:

$\begin{equation*} \frac{A}{mx + b} + \frac{B}{nx + c} = \frac{kx + l}{(mx + b)(nx + c)} \end{equation*}$

Eso significa que:

$\begin{equation*} \frac{A\,(nx + c) + B\,(mx + b)}{(mx + b)(nx+c)} = \frac{(\textcolor{red}{An + Bm})\,x + (\textcolor{blue}{Ac + Bd})}{(mx + b)(nx+c)} = \frac{\textcolor{red}{k}x + \textcolor{blue}{l}}{(mx + b)(nx + c)} \end{equation*}$

Pero para que $A,B$ satisfagan la igualdad en las fracciones, se requiere que los coeficientes de los términos del mismo grado sean iguales, es decir, el coeficiente del término lineal sea igual para ambas fracciones ( $An + Bm = k$ ), así como para el término independiente ( $Ac + Bd = l$ ). Así que tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

$\setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{ccccl} n\,A &+& m\,B &=& k\\ c\,A &+& d\,B &=& l \end{array}$

Este sistema de ecuaciones tendrá solución siempre que el determinante:

$\left\vert \begin{array}{cc} n & m \\ c & d \end{array} \right\vert \neq 0$

Esto significa que no siempre es posible expresar una fracción como la suma de otras dos, por lo que este método no siempre funcionará.

Ejemplo

Calcula la integral indefinida:

$\begin{equation*} \int\!\frac{5\,x + 17}{x^2 + 6\,x + 5}\,dx \end{equation*}$

Primero debemos observar que el denominador del integrando se puede factorizar:

$\begin{equation*} \frac{5\,x + 17}{x^2 + 6\,x + 5} = \frac{5\,x + 17}{(x + 1)(x + 5)} \end{equation*}$

Ahora buscamos dos números $A,B$ que cumplan:

$\begin{equation*} \frac{5\,x + 17}{(x + 1)(x + 5)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+5} \end{equation*}$

Empezamos haciendo la suma de fracciones:

$\begin{equation*} \frac{\textcolor{red}{5}\,x + \textcolor{blue}{17}}{(x + 1)(x + 5)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 5} = \frac{A\,(x + 5) + B\,(x + 1)}{(x + 1)(x + 5)} = \frac{(\textcolor{red}{A + B})\,x + (\textcolor{blue}{5\,A + B})}{(x + 1)(x + 5)} \end{equation*}$

Esto implica:

$\setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{ccccl} A &+& B &=& 5\\ 5\,A &+& B &=& 17 \end{array}$

La solución de este sistema de ecuaciones se obtiene multiplicando la primera ecuación por $-1$ y sumando. Así obtenemos la ecuación: $4\,A = 12$ , que implica $A = 3$ . De la primera ecuación: $A + B = 5$ y dado que $A = 3$ , se obtiene: $B = 2$ . Entonces, podemos expresar la integral como:

$\begin{eqnarray*} \int\!\frac{5\,x + 17}{x^2 + 6\,x + 5}\,dx &=& \int\!\left(\frac{3}{x + 1} + \frac{2}{x + 5}\right)\,dx\\ &=& \int\!\frac{3\,dx}{x + 1} + \int\!\frac{2\,dx}{x + 5} \end{eqnarray*}$

Estas integrales son inmediatas:

$\begin{equation*} \int\!\frac{5\,x + 17}{x^2 + 6\,x + 5}\,dx = 3\,\ln(x+1) + 5\,\ln(x+5)+ C \end{equation*}$

Y terminamos.