TEMA DE EXAMEN: MATRICES Y DETERMINANTES

TEMA DE EXAMEN: MATRICES Y DETERMINANTES

 MATRICES Y DETERMINANTES

     Definición de matriz de números.

   Una matriz  orden (m ´ n)  es un conjunto de m ´ n  números ordenados en una tabla:

en donde podemos apreciar horizontalmente las filas, fila 1: (), fila 2: ( ), etc.  Mientras que verticalmente se habla de columnas: columna 1, columna 2, etc.

  Por tanto, una matriz de orden (m ´ n)  tiene m filas y n columnas. En caso de que el número de filas y el de columnas sea el mismo se habla de matriz cuadrada.

  Las matrices cuadrada tienen dos diagonales, de las cuales sobre un ejemplo vemos la que se llama "diagonal principal" de la matriz:

   Para tratarlas teóricamente las matrices se suelen expresar en forma abreviada así:

es decir, con un nombre propio y dos subíndices, aij, siendo el primer subíndice -en nuestro caso el i- el correspondiente a la fila i-ésima, cuyo recorrido va desde 1 hasta m; y el segundo subíndice -en nuestro caso la j- es el correspondiente a la columna j-ésima, cuyo recorrido va desde 1 hasta n. El alumno debe ser muy consciente de este significado de los índices.

  6.2  Operaciones con matrices.

  *  ADICIÓN:

  Sean A y B son dos matrices del mismo orden , entonces la matriz suma S = A + B es:

   es decir, se suman los correspondientes elementos (i,j) de A con los (i,j) de B. Ejemplo:

  *  PRODUCTO POR UN ESCALAR:

    Sea A una matriz y  k un escalar (un número real), entonces la matriz   B =  k A es:

  es decir, se multiplica cada elemento de la matriz A por el número k. Ejemplo:

Considerando esto, podemos hablar de la RESTA de dos matrices A - B, como la suma de A con el producto de (-1)B, lo cual equivale a restar los correspondientes elementos (i,j) de A con los (i,j) de B.

  

  *  PRODUCTO DE MATRICES:

   Sea A una matriz de orden (m ´ n), y B una matriz de orden (n ´ r), entonces la matriz producto, es una matriz  P = A . B   de orden (m ´ r):

     

 (Observe el alumno cómo para obtener el elemento pij, se multiplican cada elemento de la fila i de A por cada elemento respectivo de la columna j de B). Tomemos como ejemplo las matrices  A , tipo (3 ´ 2), y B, tipo (2 ´ 4):

 Así obtenemos   P = A . B,  cuyo resultado es:

en la que se han ido obteniendo los elementos multiplicando fila de A por columna de B (por ejemplo):

  Mejor veámoslo gráficamente:

  Propiedades del producto de matrices:

• El producto de dos matrices de orden (n ´ n), es una matriz tipo (n ´ n).
• En general A . B ¹ B . A  (el producto no es conmutativo)
• El producto es asociativo A . (B . C) = (A . B) . C